什么是二元期权？

二元期权(Binary Option)也叫做数字期权，在OTC 市场中被广泛用于对冲和投机。二元期权只考虑标的资产的价格走向（看涨或者看跌），因此二元期权属于简化的金融工具。

二元期权的收益和风险是预先固定的，收益与否只由标的资 产的价格是否满足预定条件决定。

二元期权的分类

缺口期权

定义

缺口期权是一种同时拥有两个执行价格的期权，一个执行价格 $X_1$ 用以作为触发基准的行权价格，一旦标的资产价格大于（看涨期权）或者小于（看跌期权）便会产生损益，而损益的计算需要根据执行价格$X_2$ ，执行价格$X_2$ 是用以作为比较计算回报收益的行权价格。 缺口期权常用于保险合约中，合约中一般会要求只有当指定风险（或者损失）达到了阈值（执行价格$X_1$ ）才会进行赔付，而赔付的计算又是根据其他参数（类似执行价格$X_2$ ）去完成的。

缺口期权收益结构

缺口看涨期权

当标的资产价格小于触发执行价格即 $S < X_1$ 时，缺口看涨期权的到期回报为$0$，而当标的资产价格大于触发执行价格即$S > X_1$ 时，其到期回报为标的资产与回报收益行权价格的差值即 $S-X_2$。

缺口看涨期权的收益结构需要根据$X_1$ 与$X_2$的大小去进行分类。当$X_1>X_2$时，缺口看涨期权在X1处收益呈阶梯状，而在$[X2 , X1]$这一区间内收益为$0$，具体收益结构如图。

当$X_1 < X_2$ 时，缺口看涨期权在$[X1 , X2]$这一区间呈下陷状，此区间的收益也为负值，具体收益结构如图：

缺口看跌期权

当标的资产价格大于触发执行价格即$S > X_1$ 时，缺口看跌期权的到期回报为$0$ ，而当标的资产价格小于触发执行价格即$S < X_1$ 时，其到期回报为回报收益行权价格和标的资产的差值 $X_2-S$ 。

缺口看跌期权的收益结构也需要根据$X_1$ 与$X_2$的大小去进行分类。当$X_1>X_2$时，缺口看跌期权在区间$[X2 , X1]$呈下陷状，收益为负值，具体收益结构如图：

当$X_1<X_2$时，缺口看跌期权在$X_1$处收益呈阶梯状，而在$[X2 , X1]$这一区间内收益为$0$ ，具体收益结构如图：

缺口期权定价公式

当 $S \leq X_1$ 时，缺口看涨期权的到期回报为 $0$，而当 $S > X_1$ 时，其到期回报为 $S - X_2$。同样地，当 $S \geq X_1$ 时，缺口看跌期权的到期回报为 $0$，而当 $S < X_1$ 时，其到期回报为 $X_2 - S$。Renier 和 Rubinstein(1991b) 提出了这些期权的定价公式：

$$c = S e^{(b-r)T} N(d_1) - X_2 e^{rT} N(d_2)$$

$$p = X_2 e^{rT} N(-d_2) - S e^{(b-r)T} N(-d_1)$$

其中

$$d_1 = \frac{\ln\left(\frac{S}{X_1}\right) + \left(b + \frac{\sigma^2}{2}\right)T}{\sigma \sqrt{T}}$$

$$d_2 = \frac{\ln\left(\frac{S}{X_1}\right) + \left(b - \frac{\sigma^2}{2}\right)T}{\sigma \sqrt{T}} = d_1 - \sigma \sqrt{T}$$

定价模型中的参数解释如下：

函数 $N(x)$ 为标准正态分布的累积概率分布函数。换言之，这一函数等于服从标准正态分布 $\phi(0,1)$ 的随机变量小于 $x$ 的概率。

• $c$：缺口期权欧式看涨的价格；
• $p$：缺口期权欧式看跌的价格；
• $S$：标的资产在时间 0 的价格，可以视为当前标的资产价格；
• $X_1$：执行价格，用以作为触发基准的行权价格；
• $X_2$：到期回报执行价格，用以作为比较计算回报收益的行权价格；
• $\sigma$：标的资产价格的波动率；
• $r$：连续复利的无风险利率；
• $T$：期权的期限（以年作为单位）；
• $b$：持有成本率。

需要注意的是，缺口期权的到期回报可能为负值，这取决于 $X_1$ 和 $X_2$ 的大小。

缺口期权定价代码

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